Introducción
Para el análisis de edificios sometidos a cargas laterales, como las generadas por sismos y vientos fuertes, se requiere conocer la rigidez lateral para calcular los desplazamientos laterales en el análisis estático, y calcular los desplazamientos laterales y las propiedades dinámicas (frecuencias modales y formas) en el análisis dinámico.
El desarrollo informático para el análisis estructural ha facilitado la idealización de modelos computacionales complejos de estructuras de edificios. Sin embargo, sigue existiendo la necesidad de un modelo matemático sencillo que permita aproximar la rigidez lateral, con un grado razonable de precisión, la respuesta de las estructuras de edificios a las cargas laterales, llevándonos entre otros planteamientos a la formulación de Wilbur.
Para un Ingeniero Estructural, las técnicas de predimensionado a través de un análisis aproximado de rigidez lateral puede utilizarse para obtener estimaciones del comportamiento del edificio durante el diseño preliminar o para verificar los resultados de un análisis computacional más sofisticado. En la figura 1 se presenta un modelo con masa concentrada en cada piso y resortes de traslación que representan la rigidez lateral de cada piso, puede calcularse utilizando el principio de Rayleigh.
Fig. 1 – Modelo de Parámetros concentrados
Simplificación para la aplicación de la formulación de la rigidez lateral
Para el planteamiento de las distintas formulaciones, debemos cumplir las siguientes condiciones:
- Compatibilidad: La deformación es una función continua y tiene un valor único en cada punto. En consecuencia, los movimientos también lo son, y en particular, los movimientos en los extremos de los miembros que ocurren en un mismo nudo son idénticos para todas las miembros.
- Equilibrio: Para la estructura cada nudo y cada miembro en el plano de análisis está en equilibrio estático, bajo la acción de las fuerzas exteriores de los esfuerzos internos.
- Ecuaciones constitutivas (linealidad): La estructura se comporta linealmente tanto a nivel local (relación tensión- deformación según la Ley de Hooke), como a nivel global (relaciones desplazamiento-deformación y fuerzas –tensiones, según hipótesis de los pequeños movimientos), por tal razón, se considera válido el principio de superposición.
Formulación de Wilbur
Considerando un modelo matemático idealizado a base de masas y resorte, concentrando la masa en las losas de cada entrepiso, y entendiendo como la rigidez lateral a la relación entre el cortante absorbido por un pórtico en un nivel determinado y el desplazamiento relativo entre dos niveles consecutivos (Figura 2).
Fig. 2 – Rigidez lateral fundamentada en un modelo de masas y resortes no amortiguado
De acuerdo con el estado de deformación y de curvatura de las columnas reflejado en los diagramas de corte y momento, se pueden definir dos tipos de estructuras:
- Estructuras de cortante (shear-type structures) donde la rigidez de entrepiso es independiente de la distribución de cargas laterales (Figura 3a) y
- Estructuras de flexión (bending moment-deflecting cantilever structures) donde no existe independencia entre la rigidez de entrepiso y la distribución de cargas aplicadas (Figura 3b).
Fig. 3 – a) Estructuras de cortante; b) Estructuras de flexión
La formulación de Wilbur se utiliza en estructuras de cortarte, con pórticos regulares conformados por miembros estructurales que tienen una inercia constante. Para definir si la estructura de un pórtico tiene un comportamiento de cortante o de flexión (cantiléver), se emplea el parámetro “𝜌”, definido como un índice relativo de rotación entre vigas y columnas según la siguiente expresión:
Obteniendo el valor de 𝜌, se puede especificar:
- 𝜌 ≥ 0.10: La estructura es de cortante (shear-type structures);
- 𝜌 ≤ 0.01: La estructura es de flexión (bending moment-deflecting cantilever structures);
- 0.01 < 𝜌 < 0.10: No se puede definir exactamente la estructura, por lo que podría haber errores al momento del análisis.
Estas fórmulas se fundamentan en las hipótesis descritas a continuación:
- Los giros en los nudos de un nivel y de los niveles adyacentes son iguales, salvo por el nivel inicial, en el que se considera el empotramiento o articulación.
- En los dos pisos adyacentes, sus cortantes actuantes son del mismo valor al de éste.
Al considerar las premisas anteriores se presentan las formulaciones de Wilbur para el primer nivel, segundo nivel y niveles intermedios restantes, tal y como se presenta en la figura 4:
Fig. 4 – Formulación de Wilbur
Donde:
- 𝐾𝑛: rigidez del piso “n”
- 𝑘𝑣𝑛: rigidez relativa (𝐼𝑣/𝐿) de las vigas del nivel sobre el piso “n”
- 𝑘𝑐𝑛: rigidez relativa (𝐼𝑐/h) de las columnas del piso “n”
- 𝑚, 𝑛, 𝑜: índices que identifican tres niveles consecutivos desde abajo hacia arriba, siendo “n” el piso analizado.
- 𝐸: módulo de Elasticidad
Recomendación final
Entendiendo que la formulación de Wilbur representa una aproximación para fines de predimensionamiento o verificación de los resultados de modelación en nuestro software de preferencia, invitamos a nuestros lectores a realizar un ejemplo sencillo para comprender los conceptos y procedimientos.
En una siguiente entrega, presentaremos un ejemplo sencillo para complementar de forma práctica lo planteado en este artículo y fortalecer el alcance y aplicabilidad de lo presentado mostrando la consistencia de resultados si se aplican las premisas fundamentales establecidas.
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